Главные площадки– это площадки, проходящие через исследуемую точку, на которых Касательные напряжения отсутствуют.
Главные напряжения– это возникающие на главных площадках нормальные напряжения
В общем случае нагружения (при объемном напряженном состоянии) среди множества площадок, проходящих через некоторую точку тела, всегда можно найти три взаимно перпендикулярные главные площадки. В окрестности любой точки деформированного твердого тела всегда можно выделить элементарный параллелепипед, ориентированный в пространстве таким образом, что по его граням будут возникать только нормальные (главные) напряжения.
Главные напряжения обозначаются
Индексы расставляются после вычисления главных напряжений. Должно выполняться неравенство:
– наименьшее нормальное напряжение в исследуемой точке тела.
В частном случае нагружения может получиться так, что все три главных напряжения в исследуемой точке тела равны между собой. Тогда любая площадка, проведенная через эту точку, является главной площадкой.
По значениям главных напряжений дается оценка прочности материала в исследуемой точке деформированного твердого тела.
При плоском напряженном состоянии на грани элементарного параллелепипеда с нормалью х полностью отсутствует не только касательное, но и нормальное напряжение. Площадка тоже является главной площадкой, главное напряжение на которой равно нулю.
Нормальные и касательные напряжения на наклонной площадке зависят от ее положения, то есть от направляющих косинусов l, m, n.
Площадки, на которых касательные напряжения равны нулю и действуют только нормальные напряжения, называются главными. Нормальные напряжения на этих площадках называются главными напряжениями.
Предположим, что наклонная площадка с направляющими косинусами l, m, n является главной, то есть вектор нормали к наклонной площадке совпадает с вектором полного напряжения. Тогда нормальное напряжение на этой площадке равно полному напряжению, а касательное напряжение равно нулю (рис.22). Проекции полного напряжения на координатные оси равны:
Px = s×l, Pу = s×m, Pz = s×n.
Используя выражения, полученные для наклонной площадки, — (31) и (32), имеем:
Px = sx×l + tyx×m + tzx×n = s×l,
Pу = txy×l + sy×m + tzy×n = s×m,
Pz = txz×l + tyz×m + sz×n = s×n.
В данных уравнениях четыре неизвестных (направляющие косинусы l, m, n и главное напряжение s), поэтому необходимо четвертое уравнение:
l2 + m2 + n2 = 1.
Система уравнений имеет ненулевое решение (нулевое не устраивает из-за четвертого уравнения системы), когда равен нулю главный определитель системы:
sx — s tyx tzx
txz tyz sz — s
(sx — s)×(sy — s)×(sz — s) + tyx×tzy×txz + txy×tyz×tzx — txz×(sy — s)×tzx — txy×tyx×(sz — s) —
sx×sy×sz — s×sy×sz — sx×s×sz + s2×sz — sx×s×sу + s2×sу + s2×sх — s3 + 2×txy×tyz×tzx –
— sy×txz2 + s×txz2 — sz×txу2 + s×txу2 — sх×tуz2 + s×tуz2 = 0.
Сгруппируем слагаемые по степеням главного напряжения
— s3 + s2×(sx + sy + sz) — s×(sy×sz + sx×sz + sx×sу — txz2 — txу2 — tуz2) +
Запишем это уравнение в более компактной форме
s3 – I1×s2 + I2×s – I3 = 0, (37)
где I1 = sx + sy + sz,
I2 = sy×sz + sx×sz + sx×sу — txz2 — txу2 — tуz2,
I3 = sx×sy×sz + 2×txy×tyz×tzx — sy×txz2 — sz×txу2 — sх×tуz2 .
Введенные обозначения называются инвариантами напряженного состояния. Так как главные напряжения в точке являются физической характеристикой, то они не зависят от выбора системы координат, а, следовательно, и значения инвариантов также не зависят от выбора системы координат.
Решая кубическое уравнение (37), получим три вещественных корня – три главных напряжения, которые нумеруются в порядке убывания: s1 ³ s2 ³ s3. Подставляя величину главного напряжения в систему (35), можно определить положение главной площадки, т.е. определить ее направляющие косинусы. Три главных площадки в точке взаимно перпендикулярны.
В любой точки деформированного твердого тела всегда можно выделить элементарный параллелепипед, ориентированный в пространстве таким образом, что по его граням будут возникать только нормальные напряжения.
В зависимости от того, испытывает параллелепипед «растяжение» («сжатие») в одном, в двух или в трех направлениях (рис. 6.2), различают виды напряженного состояния:
линейное (одноосное) напряженное состояние,
плоское (двухосное) напряженное состояние,
объемное (трехосное) напряженное состояние.
С линейным напряженным состоянием мы уже сталкивались при изучении центрального растяжения (сжатия).
В задачах сопромата часто встречается плоское напряженное состояние. Его характерным признаком является полное отсутствие нормальных и касательных напряжений на двух параллельных гранях параллелепипеда.
Правила знаков для нормальных и касательных напряжений при плоском напряженном состоянии
Установим правила знаков касательных и нормальных напряжений.
Правило знаков нормальных напряжений:
нормальное напряжение, соответствующее растяжению, считается положительным, а сжатию – отрицательным.
Правило знаков для касательных напряжений.
Касательное напряжение положительно, если одновременно выполняются (или одновременно не выполняются) два условияправила знаков касательных напряжений:
условие 1: направление напряжения совпадает с положительным направлением соответствующей координатной оси;
условие 2: внешняя нормаль к площадке, на которой возникает напряженное состояние, направлена в ту же сторону, что и другая соответствующая координатная ось.
Например, все напряжения, возникающие по граням элементарного параллелепипеда (рис. 6.3), показаны положительными. Поскольку, как уже отмечалось в правиле знаков для касательных напряжений, во всех точках элементарного параллелепипеда напряженное состояние однородно, если одноименные напряжения, возникающие на параллельных гранях элемента, численно равны друг другу.
При анализе напряженного состояния в некоторой точке тела нормальные
, возникающие по граням элементарного параллелепипеда, считаются заданными.
Закон парности касательных напряжений
Элементарный параллелепипед должен находиться в равновесии (он не должен вращаться вокруг оси x, проходящей через точку К) (см. рис. 6.3), поэтому суммарный момент всех сил, возникающих по граням относительно этой оси должен быть равным нулю:
В формуле условии равновесия параллельного параллелепипеда в скобки заключены соответствующие силы, выраженные через касательные и нормальные напряжения, а их плечи указаны за скобками. После элементарных упрощений этого выражения, получим закон парности касательных напряжений:
Формулировка закона парности касательных напряжений: касательные напряжения на любых двух взаимно перпендикулярных площадках, направленные по перпендикуляру к линии пересечения площадок, равны по величине, притом касательные напряжения либо сходятся к линии пересечения площадок, либо расходятся от нее.
Главные напряжения и главные площадки
Главные площадки – это площадки, проходящие через исследуемую точку, на которых Касательные напряжения отсутствуют.
Главные напряжения – это возникающие на главных площадках нормальные напряжения
В общем случае нагружения (при объемном напряженном состоянии) среди множества площадок, проходящих через некоторую точку тела, всегда можно найти три взаимно перпендикулярные главные площадки. В окрестности любой точки деформированного твердого тела всегда можно выделить элементарный параллелепипед, ориентированный в пространстве таким образом, что по его граням будут возникать только нормальные (главные) напряжения (см. рис. 6.2).
– наибольшее, а
В частном случае нагружения может получиться так, что все три главных напряжения в исследуемой точке тела равны между собой. Тогда любая площадка, проведенная через эту точку, является главной площадкой. По значениям главного напряжения дается оценка условиям прочности.
Растяжение и сжатие – это наиболее простые и часто встречающиеся виды деформации. На растяжение и сжатие работают многие элементы конструкций: стержни ферм, колонны, канаты лебедок, штоки паровых машин, лонжероны крыла самолетов. Растяжение и сжатие – это наиболее простые виды деформации, поэтому изучение курса сопромата начинается именно с изучения этих видов деформации.
Эпюра продольных сил
Если продольные силы, возникающие в различных поперечных сечениях стержня, неодинаковы, закон их изменения по длине стержня представляется в виде графика N(z), называемого эпюрой продольных сил. Эпюра продольных сил необходима для оценки прочности стержня и строится для того, чтобы найти опасное сечение (поперечное сечение, в котором продольная сила принимает наибольшее значение
для построении эпюры N используется метод сечений. Продемонстрируем его применение на примере (рис. 2.1).
Определим продольную силу N, возникающую в намеченном нами поперечном сечении стержня.
Разрежем стержень в этом месте и мысленно отбросим нижнюю его часть (рис. 2.1, а). Далее мы должны заменить действие отброшенной части на верхнюю часть стержня внутренней продольной силой N.
Для удобства вычисления ее значения закроем рассматриваемую нами верхнюю часть стержня листком бумаги. Напомним, что продольное усилие N, возникающее в поперечном сечении, можно определить как алгебраическую сумму всех продольных сил, действующих на отброшенную часть стержня, то есть на ту часть стержня, которую мы видим.
При этом применяем следующее правило знаков: силы, вызывающие растяжение оставленной части стержня (закрытой нами листком бумаги) входят в упомянутую алгебраическую сумму со знаком «плюс», а силы, вызывающие сжатие – со знаком «минус».
Итак, для определения продольной силы N в намеченном нами поперечном сечении необходимо просто сложить все внешние силы, которые мы видим. Так как сила
кН растягивает верхнюю часть, а сила
кН ее сжимает, то
Знак «минус» означает, что в этом сечении стержень испытывает сжатие.
Можно найти опорную реакцию R (рис. 2.1, б) и составить уравнение равновесия для всего стержня, чтобы проверить результат:
Виды напряженного состояния.
Виды напряженного состояния: линейное напряженное состояние (два главных напряжения равны нулю), плоское напряженное состояние (одно из главных напряжений равно нулю) и объемное напряженное состояние (все главные напряжения не равны нулю).
Главные площадки и главные напряжения.
Главными площадками напряжений называются площадки, на которых отсутствуют касательные напряжения.
Направления нормалей к ним называются главными осями напряжений, а нормальные напряжения на них – .
Тензор напряжений. Главные площадки и главное напряжение. Виды напряжённого состояния.
Известно, что напряжения на площадке, проходящей через заданную точку нагруженного тела, зависят от ее ориентации. Совокупность напряжений на множестве площадок, которые можно провести через какую-либо точку тела, называется напряженным состоянием в данной точке.
Нормальные напряжения направлены наружу куба и перпендикулярны его граням, а касательные напряжения лежат в плоскостях граней куба. Индекс нормальных напряжений соответствует оси, которой они параллельны. Первая буква двойного индекса касательных напряжений совпадает с индексом нормального напряжения на той же грани. В силу третьего закона Ньютона напряжения на противоположных гранях элементарного куба равны по модулю и противоположны по направлению.
Закон парности касательных напряжений: на двух взаимно перпендикулярных площадках составляющие касательных напряжений, перпендикулярные к общему ребру, равны по модулю и направлены обе либо к ребру, либо от ребра:
В курсе «Сопротивление материалов» называется матрица:
